Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，曲線的極坐標(biāo)方程是.

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）求直線被曲線的截得的弦長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直線的普通方程是；曲線的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）消去參數(shù)，得直線的普通方程，利用，即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）直線與拋物線聯(lián)立得， 利用韋達(dá)定理求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）由（為參數(shù)），得直線的普通方程是，

由，得，即，

所以，故曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅱ）易知拋物線的焦點(diǎn)是，且直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，

設(shè)直線與曲線交于點(diǎn)、，

由得，

所以，所以 ，即直線被曲線截得的弦長(zhǎng)為.