【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,b= .
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)F1 , F2分別為橢圓的左、右焦點,A、B為橢圓的左、右頂點,P為橢圓C上的點,求證:以PF2為直徑的圓與以AB為直徑的圓相切;
(3)過左焦點F1作互相垂直的弦MN與GH,判斷MN的中點與GH的中點所在直線l是否過x軸上的定點,如果是,求出定點坐標,如果不是,說出理由.
【答案】
(1)解:橢圓離心率e= = = ,
由b= ,解得:a2=9,
橢圓標準方程:
(2)證明:由(1)知c=2,F(xiàn)1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0),
連結(jié)PF1,設(shè)PF2中點Q
∵O為F1F2中點,Q為PF2中點
∴OQ∥PF1,OQ= PF1
∴OQ= PF1= (2a﹣PF2)=a﹣ PF2,
∴圓O與圓Q相切(內(nèi)切)
(3)解:1°當直線MN、GH與坐標軸不垂直時,
設(shè)MN方程為x=my﹣2,m∈R,M(x1,y1),N(x2,y2),
∴ ,整理得(5m2+9)y2﹣20my﹣25=0
∴y1+y2= ,則x1+x2= ,
∴MN中點S( , )
用﹣ 代S點坐標中的m,可得
GH中點T( , )
設(shè)過x軸上的定點為(x0,0)
∴ = ,
化簡得(14x2+18)m2+14x0+18=0,
∵m∈R,
∴14x0+18=0,即x0=﹣ ,
∴過定點(﹣ ,0).
2°當直線MN、GH分別與坐標軸垂直時,中點分別為F1、O,
顯然F1O所在直線為y=0,也過(﹣ ,0),
綜上,直線l過定點(﹣ ,0).
【解析】(1)橢圓離心率e= = = ,即b= ,即可求得a,即可求得橢圓C的標準方程;(2)由O為F1F2中點,Q為PF2中點,OQ∥PF1 , OQ= PF1 , 則OQ=a﹣ PF2 , 即可證明圓O與圓Q相切;(3)分類當直線MN、GH與坐標軸不垂直時,設(shè)直線方程,代入橢圓方程,利用韋達定理及中點坐標公式即可求得MN中點S,GH中點T,直線的兩點式,整理即可求得x0;當直線MN、GH分別與坐標軸垂直時,中點分別為F1、O,顯然F1O所在直線為y=0,也過(﹣ ,0).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且滿足a2+a5=36,a3a4=128. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且bn=an+log2an(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】通過對某城市一天內(nèi)單次租用共享自行車的時間分鐘到鐘的人進行統(tǒng)計,按照租車時間, , , , 分組做出頻率分布直方圖,并作出租用時間和莖葉圖(圖中僅列出了時間在, 的數(shù)據(jù)).
(1)求的頻率分布直方圖中的;
(2)從租用時間在分鐘以上(含分鐘)的人數(shù)中隨機抽取人,設(shè)隨機變量表示所抽取的人租用時間在內(nèi)的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,且f(1)=1,f(﹣2)=4.
(1)求a、b的值;
(2)已知定點A(1,0),設(shè)點P(x,y)是函數(shù)y=f(x)(x<﹣1)圖象上的任意一點,求|AP|的最小值,并求此時點P的坐標;
(3)當x∈[1,2]時,不等式 恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以平面直角坐標系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位,曲線的極坐標方程是.
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)求直線被曲線的截得的弦長.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校舉行“青少年禁毒”知識競賽網(wǎng)上答題,高二年級共有500名學生參加了這次競賽.為了解本次競賽成績情況,從中抽取了100名學生的成績進行統(tǒng)計.請你解答下列問題:
(1)根據(jù)下面的頻率分布表和頻率分布直方圖,求出a+d和b+c的值;
(2)若成績不低于90分的學生就能獲獎,問所有參賽學生中獲獎的學生約為多少人?
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[60,70) | 10 | 0.1 |
[70,80) | 22 | 0.22 |
[80,90) | a | 0.38 |
[90,100] | 30 | c |
合計 | 100 | d |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個單位有職工80人,其中業(yè)務(wù)人員56人,管理人員8人,服務(wù)人員16人,為了解職工的某種情況,決定采取分層抽樣的方法。抽取一個容量為10的樣本,每個管理人員被抽到的概率為( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com