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16.已知雙曲線C:x2a2-y22=1的右準(zhǔn)線與兩漸近線交于A,B兩點(diǎn),它右焦點(diǎn)為F,若△ABF為等邊三角形,則雙曲線C的離心率為2.

分析 求得雙曲線的右準(zhǔn)線方程和漸近線方程,可得A,B的坐標(biāo)和距離,求得F到準(zhǔn)線的距離,再由等邊三角形的高與邊長(zhǎng)的關(guān)系,結(jié)合雙曲線的a,b,c,e的關(guān)系,計(jì)算即可得到所求值.

解答 解:雙曲線C:x2a2-y22=1的右準(zhǔn)線方程為x=a2c,
兩漸近線方程為y=±ax,可得A(a2c,abc),B(a2c,-abc),
則等邊三角形ABF的邊長(zhǎng)為|AB|=2abc
F(c,0)到右準(zhǔn)線的距離為c-a2c,
可得c-a2c=322abc
即b2=c2-a2=3ab,
即為b=3a,
即b2=c2-a2=3a2,
則c=2a,即e=ca=2,
故答案為:2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法,注意運(yùn)用雙曲線的準(zhǔn)線方程和漸近線方程,同時(shí)考查等邊三角形的性質(zhì),運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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