分析 (Ⅰ)f(x)=a(x-1)2-a+1+br 對稱軸方程為x=1,在區(qū)間[2,3]上遞增,由此列出方程組能求出a,b,從而能求出f(x)的解析式.
(Ⅱ)由g(x)=f(x)x=x+1x−2,得2x+12x−2−k•2x≥0對任意x∈[1,2]時恒成立,從而只需k≤[(12x)2-2(12x)+1]min,由此能求出k的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)∵二次函數(shù)f(x)=ax2-2ax+b+1(a>0),
∴f(x)=a(x-1)2-a+1+b,
∴函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x=1,
∵a>0,∴f(x)=a(x-1)2-a+1+b在區(qū)間[2,3]上遞增.
∵二次函數(shù)f(x)=ax2-2ax+b+1(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4,最小值1,
∴依題意得{f(2)=a−a+1+b=1f(3)=4a−a+1+b=4,解得{a=1b=0,
∴f(x)=x2-2x+1.…6 分
(Ⅱ)∵g(x)=f(x)x,∴g(x)=f(x)x=x+1x−2,
∵不等式g(2x)-k•2x≥0對任意x∈[1,2]恒成立,
∴2x+12x−2−k•2x≥0對任意x∈[1,2]時恒成立,
∴k≤(12x)2-2(12x)+1對任意x∈[1,2]時恒成立
只需k≤[(12x)2-2(12x)+1]min,
令t=12x,由x∈[1,2],得t∈[14,12],
設h(t)=t2-2t+1,
∵h(t)=t2-2t+1=(t-1)2,
當t=12,即x=1時,h(t)取得最小值14.
∴k≤h(t)min=h(12)=14.
∴k的取值范圍為(-∞,14].…(12分)
點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意等價轉(zhuǎn)化思想和換元法的合理運用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 18 | B. | 112 | C. | 24 | D. | 12 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (x+1)2+(y-1)2=4 | B. | (x+1)2+(y+1)2=4 | C. | (x-1)2+(y-1)2=4 | D. | (x+1)2+(y-1)2=2 |
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A. | 80π | B. | 96π | C. | 100π | D. | 144π |
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