Question

【題目】已知橢圓的上、下焦點分別為，上焦點到直線的距離為3，橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）橢圓，設(shè)過點斜率存在且不為0的直線交橢圓于兩點，試問軸上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】分析：（1）根據(jù)已知列方程組，解方程組即得橢圓的方程. (2)先假設(shè)存在，再化簡已知得到，所以存在.

詳解：（1）由已知橢圓方程為，設(shè)橢圓的焦點，

由到直線的距離為3，得，

又橢圓的離心率，所以，又，

求得，.

橢圓方程為.

（2）存在.理由如下：由（1）得橢圓，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得.

.

設(shè)，，則，.

假設(shè)存在點滿足條件，由于，所以平分.

易知直線與直線的傾斜角互補，∴.

即，即.（*）

將，代入（*）并整理得，

∴，整理得，即，

∴當(dāng)時，無論取何值均成立. ∴存在點使得.