【題目】已如橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)與其中一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為k，k＇.若，求證△OPQ的面積為定值，并求此定值.

【答案】（1）；（2）△OPQ的面積為定值，且此定值為，見解析

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形可知，，根據(jù)求解橢圓方程；（2）當(dāng)與軸垂直時(shí)，設(shè)，代入和橢圓方程，得到面積，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，并表示面積，得到面積是定值.

（1）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.依題查，有得，則，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：①當(dāng)直線1與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，.

由，且，解得，或，，所以.

②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，.

聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得整理得.

，，.

由，則，即，

所以，

即，整理得，則.

又，

點(diǎn)O到直線PQ的距離為，所以.

綜上，△OPQ的面積為定值，且此定值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.

（1）求的方程；

（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，問是否在軸上存在一點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)總有？若存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線。

(1)求曲線的方程；

(2)若，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線分別交于點(diǎn)，其中，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)。(其坐標(biāo)與無關(guān))

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln (x＋1)－ －x，a∈R.

(1)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－ (a∈Z)成立，求a的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)取值范圍；

（3）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，記直線與曲線分別交于兩點(diǎn).

（1）求曲線和的直角坐標(biāo)方程；

（2）證明：成等比數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在全國(guó)第五個(gè)“扶貧日”到來之前,某省開展“精準(zhǔn)扶貧,攜手同行”的主題活動(dòng),某貧困縣調(diào)查基層干部走訪貧困戶數(shù)量．鎮(zhèn)有基層干部60人,鎮(zhèn)有基層干部60人,鎮(zhèn)有基層干部80人,每人都走訪了若干貧困戶,按照分層抽樣,從三鎮(zhèn)共選40名基層干部,統(tǒng)計(jì)他們走訪貧困戶的數(shù)量,并將走訪數(shù)量分成5組,,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求這40人中有多少人來自鎮(zhèn),并估計(jì)三鎮(zhèn)的基層干部平均每人走訪多少貧困戶；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)如果把走訪貧困戶達(dá)到或超過25戶視為工作出色,以頻率估計(jì)概率,從三鎮(zhèn)的所有基層干部中隨機(jī)選取3人,記這3人中工作出色的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某城市自2014年至2019年每年年初統(tǒng)計(jì)得到的人口數(shù)量如表所示.

年份

2014

2015

2016

2017

2018

2019

人數(shù)（單位：萬）

2082

2135

2203

2276

2339

2385

（1）設(shè)第年的人口數(shù)量為（2014年為第1年），根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，描述該城市人口數(shù)量和2014年至2018年每年該城市人口的增長(zhǎng)數(shù)量的變化趨勢(shì)；

（2）研究統(tǒng)計(jì)人員用函數(shù)擬合該城市的人口數(shù)量，其中的單位是年.假設(shè)2014年初對(duì)應(yīng)，的單位是萬.設(shè)的反函數(shù)為，求的值（精確到0.1），并解釋其實(shí)際意義.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是拋物線上任意一點(diǎn)，，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）若為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，過的直線交曲線于、 兩點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：．

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