Question

F₁、F₂分別為雙曲線的左、右焦點，直線l過F₁與雙曲線的左支交于A、B兩點，△ABF₂面積的最小值為________．

Answer 1

15
分析：確定雙曲線的焦點坐標(biāo)，設(shè)出AB的方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示出△ABF₂面積，再利用導(dǎo)數(shù)知識，即可求得△ABF₂面積的最小值
解答：由題意F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）
設(shè)AB的方程為x=my-3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
AB的方程代入雙曲線方程，整理可得（5m²-4）y²-30my+25=0
∴y₁+y₂=，y₁y₂=
∴|y₁-y₂|==
∵直線l過F₁與雙曲線的左支交于A、B兩點，∴y₁y₂＜0，∴5m²-4＜0
∴|y₁-y₂|=
∴△ABF₂面積為×|F₁F₂|×|y₁-y₂|=
令，則，∴==
令y=-5t+，則，∴y=-5t+在[1，）上單調(diào)遞減，∴0＜y≤4
∴≥15，即△ABF₂面積的最小值為15
故答案為：15．
點評：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，聯(lián)立方程，正確運用韋達(dá)定理，進(jìn)而表示三角形的面積是關(guān)鍵．