Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，前n項和為S_n=

n+2

3

a_n，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，并求數列{a_n}的通項a_n；
（2）記b_n=

an+1

an

+

an

an+1

，T_n是數列{b_n}的前n項和，求證：T_n-2n＜3．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式代入計算，可求a₂，a₃，再寫一式，兩式相減，再利用疊乘法，即可求數列{a_n}的通項a_n；
（2）利用裂項法求數列的和，即可證得結論．

解答：（1）解：n=2時，S₂=

4

3

a₂，∵a₁=1，∴1+a₂=

4

3

a₂，∴a₂=3；
n=3時，S₃=

5

3

a₃，∴4+a₃=

5

3

a₃，∴a₃=6；
∵S_n=

n+2

3

a_n，∴n≥2時，S_n-1=

n+1

3

a_n-1，
兩式相減可得a_n=

n+2

3

a_n-

n+1

3

a_n-1，
∴

an

an-1

=

n+1

n-1

∴a_n=a₁•

a2

a1

•…•

an

an-1

=

n(n+1)

2

．
（2）證明：bn=

an+1

an

+

an

an+1

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Tn=2n+2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴Tn-2n=2(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜3．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，確定數列的通項是關鍵．