f（x）定義域為（0，+∞），且對任意x＞0，y＞0都有f(
x
y
)=f(x)-f(y)．當x＞1時，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式 f(x+3)-f(
1
x
)＜2．
分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）依題意，利用單調(diào)性的定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，再求得f（36）=2，將不等式f（x+3）-f（
1
x
）＜2轉(zhuǎn)化為f（x2+3x）＜f（36），利用f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性即可求得其解集．
解答：解：（1）令x=y=1，得f（
1
1
）=f（1）-f（1）=0，即f（1）=0；
（2）設0＜x1＜x2，則
x2
x1
＞1，f（
x2
x1
）＞0，
f（x2）-f（x1）=f（
x2
x1
）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
∵f（6）=1，
∴f（6）=f（
36
6
）=f（36）-f（6）=1，
∴f（36）=2，
∴原不等式化為f（x2+3x）＜f（36），f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴
x+3＞0
1
x
＞0
x2+3x＜36
，解得0＜x＜
3
17
-3
2
．
∴不等式f（x+3）-f（
1
x
）＜2的解集為{x|0＜x＜
3
17
-3
2
}．
點評：本題考查抽象函數(shù)的應用，突出考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與一元二次不等式的解法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義域為（0，2），求下列函數(shù)的定義域：
（1）y=f（x2）+23；
（2）y=
2f(x2)+1
log
1
2
(2-x)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義域為（0，+∞），且滿足2f（x）+f（
1
x
）=（2x-
1
x
）lnx．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）設g（x）=
x+f(x)
xe2x
，h（x）=（2x2+x）g′（x），求證：?x∈（0，+∞），h（x）＜
4
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義域為（0，+∞），且滿足2f（x）+f（
1
x
）=(2x-
1
x
)lnx．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）求證：?x∈（0，+∞），
x+1
ex
＜1．
（Ⅲ）設g（x）=
x+f(x)
xex
，h（x）=（x2+x）g′（x）．求證：：?x∈（0，+∞），h（x）＜
4
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義域為（0，+∞）且單調(diào)遞增，滿足f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y）
（Ⅰ）求f（1）的值；探究用f（x）和n表示f（xn）的表達式（n∈N*）；
（Ⅱ）若f（x）+f（x-3）≤1，求x的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案