Question

甲、乙兩機(jī)床加工同一種零件，抽檢得到它們加工后的零件尺寸x（單位：cm）及個(gè)數(shù)，如下表：

零件尺寸x		1.01	1.02	1.03	1.04	1.05
零件個(gè)數(shù)y	甲	3	7	8	9	3
	乙	7	4	4	4	a

由表中數(shù)據(jù)得y關(guān)于x的線性回歸方程為y=-91+l00x（1.01≤x≤1.05），其中合格零件尺寸為1.03±0.0l（cm）．
（Ⅰ）完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為加工零件的質(zhì)量與甲、乙有關(guān)；

	合格零件數(shù)	不合格零件數(shù)	合計(jì)
甲
乙
合計(jì)

（Ⅱ）從甲、乙加工后尺寸大于1.03cm的零件中各取1個(gè)，求恰好取到2個(gè)都是不合格零件的概率．附：參考公式及臨界值表．
K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）確定a=11，根據(jù)合格零件尺寸為1.03±0.0l（cm），可得列聯(lián)表，計(jì)算K²，與臨界值比較，即可判斷是否有99%的把握認(rèn)為加工零件的質(zhì)量與甲、乙有關(guān)；
（Ⅱ）利用列舉法確定基本事件的個(gè)數(shù)，利用概率公式可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）

.

x

=1.03，

.

y

=

a+49

5

，
由y=-91+l00x，得

a+49

5

=-91+100×1.03，解之得a=11．（2分）
由于合格零件尺寸為1.03±0.0l（cm），故甲、乙加工的合格與不合格零件的數(shù)據(jù)表為：

	合格 零件數(shù)	不合格 零件數(shù)	合計(jì)
甲	24	6	30
乙	12	18	30
合計(jì)	36	24	60

…（4分）
所以 K2=

60×(24×18-6×12)2

30×30×36×24

=10，因K²=10＞6.635，
故有99%的把握認(rèn)為加工零件的質(zhì)量與甲、乙有關(guān)…（6分）
（Ⅱ）尺寸大于1.03的零件中，甲有合格零件9個(gè)，不合格零件3個(gè)；乙有合格零件4個(gè)，不合格零件11個(gè)，
設(shè)甲加工的合格零件為A₁，A₂，…，A₉，甲加工的不合格零件為A₁₀，A₁₁，A₁₂；乙加工的合格零件為B₁，B₂，B₃，B₄，乙加工的不合格零件為B₅，B₆，…，B₁₅．
因此，“從甲、乙中各取1個(gè)”的所有基本事件是：（A₁，B₁）、（A₁，B₂），…，（A₁，B₁₅）；（A₂，B₁），（A₂，B₂），…，（A₂，B₁₅）；…，（A₁₂，B₁）、（A₁₂，B₂），…，（A₁₂，B₁₅），共12×15=180種情況…（8分）
其中，“取到的2個(gè)都是不合格零件”的基本事件是：（A₁₀，B₅）、（A₁₀，B₆），…，（A₁₀，B₁₅），…，（A₁₂，B₅）、（A₁₂，B₆），…，（A₁₂，B₁₅），共3×11=33種情況…（10分）
故所求概率為P=

33

180

=

11

60

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算K²，與臨界值比較，是解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題的方法，列舉法是確定基本事件個(gè)數(shù)的基本方法．