Question

【題目】設函數(shù) .

（1）若函數(shù)在上單調遞增，求的取值范圍；

（2）設函數(shù)，若對任意的，都有 ，求的取值范圍；

（3）設，點是函數(shù)與的一個交點，且函數(shù)與在點處的切線互相垂直，求證：存在唯一的滿足題意，且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）函數(shù)單調遞增得，即對恒成立，根據(jù)函數(shù)恒成立求出m的范圍即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間，問題轉化為mlnπ+cosπ≥0，求出m的范圍即可；
（3）分別求出msinx0=x0，mlnx0=cosx0，聯(lián)立消去m，得x0lnx0-sinx0cosx0=0，根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．

試題解析：

（1）由題意，知，所以，

由題意， ，即對恒成立，

又當時， ，所以.

（2）因為，所以，

①當時，因為，所以，，故，不合題意；

②當時，因為，所以，故上單調遞增；

欲對任意的都成立，則需，所以，

解得，綜上所述， 的取值范圍是.

（3）證明：因為，且函數(shù)與 在點處的切線垂直，

所以，即，

又點是函數(shù)與的一個交點，所以，

消去，得，

①當時，因為，所以，且，此與上式矛盾，

所以上沒有適合題意.

②當時，設，

則，即函數(shù)在上單調遞增，

所以函數(shù)在上至多有一個零點，

因為，

且的圖象在上不間斷，所以函數(shù)在有唯一的零點，

即只有唯一的，使得成立，且，

綜上所述，存在唯一的，且.