Question

【題目】定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在[0,1)上單調(diào)遞減，若方程在[0,1)上有實(shí)數(shù)根，則方程在區(qū)間[-1,7]上所有實(shí)根之和是

A. 12 B. 14 C. 6 D. 7

Answer 1

【答案】A

【解析】由f（2-x）=f（x）知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，

由f（x）是R上的奇函數(shù)知f（2-x）=-f（x-2），f（x-4）=-f（4-x）

在f（2-x）=f（x）中，以x-2代x得：

f（2-（x-2））=f（x-2）即f（4-x）=f（x-2），

所以f（x）=f（2-x）=-f（4-x）=f（x-4）

即f（x+4）=f（x），

所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．

考慮f（x）的一個周期，例如[-1，3]，

由f（x）在[0，1）上是減函數(shù)知f（x）在（1，2]上是增函數(shù)，

f（x）在（-1，0]上是減函數(shù)，f（x）在[2，3）上是增函數(shù)．

對于奇函數(shù)f（x）有f（0）=0，f（2）=f（2-2）=f（0）=0，

故當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＜f（0）=0，當(dāng)x∈（1，2）時，f（x）＜f（2）=0，

當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）＞f（0）=0，當(dāng)x∈（2，3）時，f（x）＞f（2）=0，

方程f（x）=-1在[0，1）上有實(shí)數(shù)根，

則這實(shí)數(shù)根是唯一的，因?yàn)?/span>f（x）在（0，1）上是單調(diào)函數(shù)，

則由于f（2-x）=f（x），故方程f（x）=-1在（1，2）上有唯一實(shí)數(shù)．

在（-1，0）和（2，3）上f（x）＞0，

則方程f（x）=-1在（-1，0）和（2，3）上沒有實(shí)數(shù)根．

從而方程f（x）=-1在一個周期內(nèi)有且僅有兩個實(shí)數(shù)根．

當(dāng)x∈[-1，3]，方程f（x）=-1的兩實(shí)數(shù)根之和為x+2-x=2，

當(dāng)x∈[-1，7]，方程f（x）=-1的所有四個實(shí)數(shù)根之和為x+2-x+4+x+4+2-x=2+8+2=12．

故答案為A.