已知a，b，c均為正實數(shù)，且2c＞a＋b，求證c－＜a＜c＋．

答案：
解析：

　　分析：從所要證式子的結構上看，可把c－與c＋看作方程x2－2cx＋ab＝0的兩個根．要證a在區(qū)間(c－，c＋)內，即證a在對應函數(shù)的兩個零點之間．

　　證明：令f(x)＝x2－2cx＋ab，把c－與c＋看作一元二次方程x2－2cx＋ab＝0的兩個根，即把c－與c＋看作函數(shù)f(x)的兩個零點．

　　如圖，由于二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，

　　因此要證a在區(qū)間(c－，c＋)內，

　　只需證f(a)＜0．

　　因為a＞0，且2c＞a＋b，

　　所以f(a)＝a2－2ca＋ab＝a(a－2c＋b)＜0．

　　所以a在區(qū)間(c－，c＋)內，

　　即c－＜a＜c＋．

　　點評：解本題的關鍵是將不等式的兩端視為一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的兩個根，然后證明不等式中間的數(shù)在兩個根之間，這可利用對應二次函數(shù)的圖象特征求證．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c均為正實數(shù)，記M=max{
1
ac
+b，
1
a
+bc，
a
b
+c}，則M的最小值為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）已知直角△ABC的三邊長a，b，c，滿足a≤b＜c
（1）在a，b之間插入2011個數(shù)，使這2013個數(shù)構成以a為首項的等差數(shù)列{an }，且它們的和為2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均為正整數(shù)，且a，b，c成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列S1，S2，S3，…Sn，且Tn=-S1+S2-S3+…+(-1) nSn，求滿足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比數(shù)列，若數(shù)列{Xn}滿足
5
Xn=(
c
a
)n-(-
a
c
)n（n∈N+），證明：數(shù)列{
Xn
 }中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構成直角三角形，且Xn是正整數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多作，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將選題號填入括號中．
（1）選修4一2：矩陣與變換
設矩陣M所對應的變換是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸縮變換．
（Ⅰ）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．
（2）選修4一4：坐標系與參數(shù)方程
已知直線C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
（t為參數(shù)），C2：
x=cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）當α=
π
3
時，求C1與C2的交點坐標；
（Ⅱ）過坐標原點O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當α變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程．
（3）選修4一5：不等式選講
已知a，b，c均為正實數(shù)，且a+b+c=1．求
4a+1
+
4b+1
+
4c+1
的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省高三下學期2月月考理科數(shù)學試卷 題型：填空題

已知a，b，c均為正實數(shù)，記，則M的最小值為     ．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知直角△ABC的三邊長a，b，c，滿足a≤b＜c
（1）在a，b之間插入2011個數(shù)，使這2013個數(shù)構成以a為首項的等差數(shù)列{an }，且它們的和為2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均為正整數(shù)，且a，b，c成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列S1，S2，S3，…Sn，且數(shù)學公式，求滿足不等式數(shù)學公式的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比數(shù)列，若數(shù)列{Xn}滿足數(shù)學公式（n∈N+），證明：數(shù)列{數(shù)學公式 }中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構成直角三角形，且Xn是正整數(shù)．

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