如圖,將長AA′=,寬AA1=3的矩形沿長的三等分線處折疊成一個三棱柱,如圖所示:

(1)求平面APQ與底面ABC所成二面角的正切值;

(2)求三棱錐A1—APQ的體積.

解：(1)依題意,知三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱,且側(cè)棱AA1=3,底面邊長為,BP=1,

CQ=2.延長QP交BC延長線于點E,連結(jié)AE.在△ACE中,AC=,CE=2BC=2,∠ACE=60°,于是∠EAC=90°,AE=3.由于△CAE為直角三角形,CA⊥AE,連結(jié)QA,則QA⊥AE,∠QAC即為平面APQ與底面ABC所成角的平面角.在Rt△QAC中,tan∠QAC==.所以平面APQ與平面ABC所成二面角的正切值為.

(2)連結(jié)A1P,則=AA1·AB=×3×=.因為CC1∥平面A1AP,Q是CC1上的點,所以Q到平面A1AP的距離等于C到平面A1AP的距離.因為平面A1AP⊥平面ABC,所以C到平面A1AP的距離即為正△ABC的高h(yuǎn)=×=.

所以=××=.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖2所示，在邊長為12的正方形AA'A'1A1中，點B，C在線段AA'上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分別交A1A'1、AA'1于點B1、P，作CC1∥AA1，分別交A1A'1、AA'1于點C1、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A'A1′與AA1重合，構(gòu)成如圖3所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求證：AB⊥平面BCC1B1．
（2）求平面APQ將三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比．
（3）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求直線AP與直線A1Q所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖1所示，在邊長為12的正方形AA′A1′A1中，點B，C在線段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點B1、P，作CC1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點C1、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A′A1′與AA1重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求證：AB⊥平面BCC1B1；
（2）求平面APQ將三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

19、如圖1，在邊長為12的正方形AA′A′1A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA′1分別交BB1，CC1于點P、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A′A′1與AA1重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1，請在圖2中解決下列問題：
（1）求證：AB⊥PQ；
（2）在底邊AC上有一點M，滿足AM；MC=3：4，求證：BM∥平面APQ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，將長AA′=3
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，寬AA1=3的矩形沿長的三等分線處折疊成一個三棱柱，如圖所示：
（1）求平面APQ與底面ABC所成二面角的正切值；
（2）求三棱錐A1-APQ的體積．

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