如圖，將長(zhǎng)AA′=3
3
，寬AA1=3的矩形沿長(zhǎng)的三等分線處折疊成一個(gè)三棱柱，如圖所示：
（1）求平面APQ與底面ABC所成二面角的正切值；
（2）求三棱錐A1-APQ的體積．
分析：（1）由題設(shè)知三棱柱ABC-A1B1C1  是正三棱柱，且側(cè)棱AA1=3，底面邊長(zhǎng)為
3
，BP=1，CQ=2，由此能求出平面APQ與底面ABC所成二面角的正切值．
（2）連接A1P，由△A1AP的面積為
3
3
2
，知點(diǎn)Q到平面A1AP的距離為
3
2
，利用VA1-APQ=VQ-A1AP，能求出三棱錐A1-APQ的體積．
解答：解：（1）將長(zhǎng)AA′=3
3
，寬AA1=3的矩形沿長(zhǎng)的三等分線處折疊成一個(gè)三棱柱，
∴三棱柱ABC-A1B1C1  是正三棱柱，且側(cè)棱AA1=3，
底面邊長(zhǎng)為
3
，BP=1，CQ=2，
延長(zhǎng)QP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，
則AE⊥AC于A，QA⊥AE，
∴∠QAC為平面APQ與平面ABC所成的銳二面角的平面角，
∵AC=
3
，
∴tan∠QAC=
QC
AC
=
2
3
=
2
3
3
，
∴平面APQ與底面ABC所成二面角的正切值為
2
3
3
．
（2）連接A1P，
△A1AP的面積為
3
3
2
，點(diǎn)Q到平面A1AP的距離為
3
2
，
則VA1-APQ=VQ-A1AP=
1
2
×
3
2
×
3
3
2
=
3
3
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的正切值的求法，考查棱錐的體積的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
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精英家教網(wǎng)如圖2所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形AA'A'1A1中，點(diǎn)B，C在線段AA'上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分別交A1A'1、AA'1于點(diǎn)B1、P，作CC1∥AA1，分別交A1A'1、AA'1于點(diǎn)C1、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A'A1′與AA1重合，構(gòu)成如圖3所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求證：AB⊥平面BCC1B1．
（2）求平面APQ將三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比．
（3）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求直線AP與直線A1Q所成角的余弦值．

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精英家教網(wǎng)如圖1所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形AA′A1′A1中，點(diǎn)B，C在線段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點(diǎn)B1、P，作CC1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點(diǎn)C1、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A′A1′與AA1重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求證：AB⊥平面BCC1B1；
（2）求平面APQ將三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比．

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19、如圖1，在邊長(zhǎng)為12的正方形AA′A′1A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA′1分別交BB1，CC1于點(diǎn)P、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A′A′1與AA1重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1，請(qǐng)?jiān)趫D2中解決下列問題：
（1）求證：AB⊥PQ；
（2）在底邊AC上有一點(diǎn)M，滿足AM；MC=3：4，求證：BM∥平面APQ．

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如圖,將長(zhǎng)AA′=,寬AA1=3的矩形沿長(zhǎng)的三等分線處折疊成一個(gè)三棱柱,如圖所示:

(1)求平面APQ與底面ABC所成二面角的正切值;

(2)求三棱錐A1—APQ的體積.

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