Question

如圖，曲線c₁：y²=2px（p＞0）與曲線c₂：（x-6）²+y²=36只有三個(gè)公共點(diǎn)O，M，N，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OM

•

ON

=0．
（1）求曲線c₁的方程；
（2）過定點(diǎn)M（3，2）的直線l與曲線c₁交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由對(duì)稱性知MN⊥x軸于點(diǎn)（6，0），且|MN|=12，可得M的坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可求曲線c₁的方程；
（2）利用點(diǎn)差法求出直線AB的斜率，可得AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，可求線段AB的長(zhǎng)度．

解答： 解：（1）由對(duì)稱性知MN⊥x軸于點(diǎn)（6，0），且|MN|=12
所以M（6，6），…（3分）
所以6²=2p×6
所以p=3…（4分）
所以曲線為y²=6x…（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
因?yàn)椋?，2）是AB中點(diǎn)
所以x₁+x₂=6，y₁+y₂=4…（6分）
則由點(diǎn)差法得k=

y2-y1

x2-x1

=

3

2

…（8分）
所以直線l：3x-2y-5=0
由

y2=6x 3x-2y-5=0

得y2-4y-10=0
所以由韋達(dá)定理

y1+y2=4 y1y2=-10

…（10分）
所以|AB|=

(1+ 4 9 )(16+40)

=

2 182

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，屬于中檔題．