已知點P是線段AB上的動點（不包括兩端點），點O是線段AB所在直線外一點，若
OP
=x
OA
+2y
OB
（x，y∈R），則
2
x
+
1
y
的最小值是（　�。�
分析：由題意可得
AP
=λ•
AB
，λ＞0，化簡可得
OP
=（1-λ）•
OA
+λ
OB
，可得 x+2y=（ 1-λ）+λ=1≥2
2xy
，從而得到
1
xy
≥8，再由
2
x
+
1
y
=
x+2y
xy
=
1
xy
，可得
2
x
+
1
y
≥8，進而得到結論．
解答：解：∵點P是線段AB上的動點（不包括兩端點），∴
AP
=λ•
AB
，1＞λ＞0，∴
OP
- 
OA
=λ（
OB
- 
OA
），
化簡可得
OP
=（1-λ）•
OA
+λ
OB
，再由
OP
=x
OA
+2y
OB
，可得 x=1-λ＞0，2y=λ＞0，
∴x+2y=（ 1-λ）+λ=1≥2
2xy
，化簡可得 xy≤
1
8
，即
1
xy
≥8，當且僅當 x=2y=
1
2
 時，等號成立．
再由
2
x
+
1
y
=
x+2y
xy
=
1
xy
，可得
2
x
+
1
y
≥8，
故選 C．
點評：本題主要考查平面向量基本定理及其幾何意義，基本不等式的應用，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（a，0），B（0，a），a＞0，點P在線段AB上，且
AP
=t
AB
（0≤t≤1），則
OA
•
OP
的最大值是
a2
a2
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2002年全國各省市高考模擬試題匯編 題型：022

已知下列四個命題：

①角α一定是直線y＝x·tanα－2的傾斜角；

②點P是線段AB上的點，若，則；

③直線y＝到直線y＝的到角公式為tanα＝；

④方程＝1與方程y＝表示同一條曲線．

　　其中正確命題的序號是________(注：把你認為正確的命題的序號都填上)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：單選題

已知點P是線段AB上的動點（不包括兩端點），點O是線段AB所在直線外一點，若數(shù)學公式=x數(shù)學公式+2y數(shù)學公式（x，y∈R），則數(shù)學公式的最小值是


  1. A.
    4
  2. B.
    6
  3. C.
    8
  4. D.
    16

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江西省宜春市高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知點P是線段AB上的動點（不包括兩端點），點O是線段AB所在直線外一點，若=x+2y（x，y∈R），則的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．16

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