Question

在平面直角坐標系中，已知向量

a

=（x，y-

2

），

b

=（kx，y+

2

）（k∈R），

a

⊥

b

，動點M（x，y）的軌跡為T．
（1）求軌跡T的方程，并說明該方程表示的曲線的形狀；
（2）當k=

1

2

時，已知點B（0，-

2

），是否存在直線l：y=x+m，使點B關于直線l的對稱點落在軌跡T上？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）直接利用向量的數量積化簡即可求軌跡T的方程，然后通過k 的取值說明該方程表示的曲線的形狀；
（2）當k=

1

2

時，求出方程，然后求出點B（0，-

2

），點B關于直線l的對稱點的坐標，代入方程，判斷是否落在軌跡T上，即可求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

∴

a

•b

=(x，y-

2

)(kx，y+

2

)=0得kx²+y²-2=0即kx²+y²=2-------------（2分）
當k=0時，方程表示兩條與x軸平行的直線；----------------------------（3分）
當k=1時，方程表示以原點為圓心，以

2

為半徑的圓；-----------------------（4分）
當k＞0且k≠1時，方程表示橢圓；-----------------------------------------（5分）
當k＜0時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線．---------------------------------（6分）
（2）當k=

1

2

時，動點M 的軌跡T的方程為

x2

4

+

y2

2

=1---------------------------（7分）
設滿足條件的直線l存在，點B關于直線l的對稱點為B'（x₀，y₀），則由軸對稱的性質可得：

y0+ 2

x0

=-1，

y0- 2

2

=

x0

2

+m，
解得：x0=-

2

-m，y0=m，-------------------------------（10分）
∵點B'（x₀，y₀）在橢圓上，∴

(- 2 -m)2

4

+

m2

2

=1，整理得3m2+2

2

m-2=0
解得m=

2

3

或m=-

2

------------------------------------（12分）
∴直線l的方程為y=x+

2

3

或y=x-

2

-------------------（13分）
經檢驗y=x+

2

3

和y=x-

2

都符合題設
∴滿足條件的直線l存在，其方程為y=x+

2

3

或y=x-

2

．-----------------（14分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關系的應用，考查分析問題解決問題的能力，同時考查了轉化思想．