Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，f（-1）=-2．
（Ⅰ）利用定義證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；  
（Ⅱ）求f（x）在[-2，1]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接利用定義證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)即可；  
（Ⅱ）利用賦值法，求出f（0）=0，判斷函數(shù)是奇函數(shù)，然后求解f（x）在[-2，1]上的值域．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，則x₂-x₁＞0，
由條件當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0∴f（x₂-x₁）＞0．
又f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）＞f（x₁）
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）為增函數(shù)，
（Ⅱ）令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）．
又令x=y=0得f（0）=0．
∴f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)．
∵f（-1）=-f（1）=-2，f（-2）=2f（-1）=-4，
∴f（x）在[-2，1]上的值域?yàn)閇-4，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查基本知識(shí)的應(yīng)用．