Question

已知常數(shù)b＞0，函數(shù)f（x）=

ax

x+a

圖象過(guò)（2，1）點(diǎn)，函數(shù)g（x）=ln（1+bx）設(shè)h（x）=g（x）-f（x）
（Ⅰ）討論h（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．
（Ⅱ）若h（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，求b的取值范圍，使h（x₁）+h（x₂）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對(duì)b分類(lèi)討論；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值，注意b的討論及利用換元法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題解決．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

ax

x+a

圖象過(guò)（2，1）點(diǎn)，
∴

2a

2+a

=1，解得a=2，
∴h（x）=g（x）-f（x）=ln（1+bx）-

2x

x+2

，
∴h′（x）=ln′（1+bx）-（

2x

x+2

）′=

b

1+bx

-

2[(x+2)-x]

(x+2)2

=

b

1+bx

-

4

(x+2)2

=

bx2+4b2-4

(1+bx)(x+2)2

當(dāng)b≥1時(shí)，h′（x）＞0，此時(shí)h（x）在（0，+∞）上遞增，
當(dāng)0＜b＜1時(shí)，令h′（x）=0，解得x₁=2

1-b b

，x₂=-2

1-b b

（舍去）
當(dāng)x∈（0，2

1-b b

）時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（2

1-b b

，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
故函數(shù)h（x）在（0，2

1-b b

）上遞減，在（2

1-b b

，+∞）上遞增，
綜上所述，當(dāng)b≥1時(shí)，h（x）在（0，+∞）上遞增，
0＜b＜1時(shí)，函數(shù)h（x）在（0，2

1-b b

）上遞減，在（2

1-b b

，+∞）上遞增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)b≥1時(shí)，h′（x）≥0，此時(shí)h（x）不存在極值點(diǎn)．
因此要使h（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，則必有0＜b＜1，又h（x）的極值點(diǎn)值可能是x₁=2

1-b b

，x₂=-2

1-b b

，
且由h（x）的定義域可知x＞-

1

b

且x≠-2，
∴-2

1-b b

＞-

1

b

且-2

1-b b

≠-2，解得b≠

1

2

，則x₁，x₂分別為函數(shù)h（x）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
∴h（x₁）+h（x₂）=ln[1+ax₁]-

2x1

x1+2

+ln（1+ax₂）-

2x2

x2+2

=ln[1+a（x₁+x₂）+a²x₁x₂]-

4x1x2+4(x1+x2)

x1x2+2(x1+x2)+4

=ln（2b-1）²-

4(b-1)

2b-1

=ln（2b-1）²+

2

2b-1

-2．
令2b-1=x，由0＜b＜1且b≠

1

2

得，
當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，-1＜x＜0；當(dāng)

1

2

＜b＜1時(shí)，0＜x＜1．
令φ（x）=lnx²+

2

x

-2．
（i）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，φ（x）=2ln（-x）+

2

x

-2，∴φ′（x）=

2x-2

x2

＜0，
故φ（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，φ（x）＜φ（-1）=-4＜0，
∴當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，h（x₁）+h（x₂）＜0；
（ii）當(dāng)0＜x＜1．φ（x）=2lnx+

2

x

-2，φ′（x）=

2x-2

x2

＜0，
故φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，φ（x）＞g（1）=0，
∴當(dāng)

1

2

＜b＜1時(shí)，h（x₁）+h（x₂）＞0；
綜上所述，b的取值范圍是（

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及極值的判斷，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求極值的能力，考查分類(lèi)討論思想及轉(zhuǎn)化劃歸思想的運(yùn)用和運(yùn)算能力，邏輯性綜合性強(qiáng)，屬難題．