Question

已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)F，B，A三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(p，q)．

(1)當(dāng)p＋q≤0時(shí)，求橢圓的離心率的取值范圍；

(2)若點(diǎn)D(b＋1,0)，在(1)的條件下，當(dāng)橢圓的離心率最小時(shí)，的最小值為，求橢圓的方程．

Answer 1

解：(1)設(shè)半焦距為c.

由題意知，AF，AB的中垂線方程分別為，

整理，得ab－bc＋b²－ac≤0，

即(a＋b)(b－c)≤0，

所以b≤c，于是b²≤c²，即a²＝b²＋c²≤2c².

所以e²＝≥，即≤e<1.

故橢圓的離心率的取值范圍為

(2)當(dāng)e＝時(shí)，a＝b＝c，此時(shí)橢圓的方程為＋＝1，

設(shè)M(x，y)，則－c≤x≤c，

所以＝x²－x＋c²＝(x－1)²＋c²－.

當(dāng)c≥時(shí)，上式的最小值為c²－，

即c²－＝，解得c＝2；

當(dāng)0<c<時(shí)，上式的最小值為(c)²－c＋c²，

即(c)²－c＋c²＝，解得c＝，不合題意，舍去．

綜上所述，橢圓的方程為＋＝1.