已知多面體ABCDEF中,AB∥CD∥EF,平面ABCD與平面ADE垂直,△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形,點G為邊BC的中點,且AB=AD=2,CD=4,EF=3.
(1)求證:FG⊥平面ABCD;
(2)若∠ADC=120°,求二面角F-BD-E的正弦值.
考點:與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定
專題:綜合題,空間位置關系與距離,空間角
分析:(1)取AD中點O,連接OG、OE,利用面ADE⊥面ABCD,證明EO⊥面ABCD,可證四邊形OGFE為平行四邊形,從而可得結論;
(2)建立空間坐標系,確定面BDE的法向量、面BDF的法向量,利用向量的夾角公式,可得結論.
解答: (1)證明:取AD中點O,連接OG、OE,
∵△ADE為等腰三角形,
∴OE⊥AD…(1分)
∵平面ABCD⊥平面ADE,平面ABCD∩平面ADE=AD,且OE?平面AED,
∴OE⊥平面ABCD…..(3分)
∵AB∥EF∥CD,且O、G分別是AD、BC的中點
∴OG∥EF,OG=3=EF,
∴四邊形OGFE是平行四邊形,
∴OE∥FG…..(4分)
∴FG⊥平面ABCD.…..(5分)
(2)解:連接OB,
在△ABD中,AD=AB=2,∠DAB=60°,∴△ADB是等邊三角形,即OB⊥AD.
由(1)知,OE⊥平面ABCD,分別以
OA
、
OB
、
OE
為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則
A(1,0,0),B(0,
3
,0)
,D(-1,0,0),E(0,0,1),
利用
DC
=2
AB
EF
=
3
2
AB
C(-3,2
3
,0)
、F(-
3
2
,
3
3
2
,1)
,….(6分)
設平面BDF的法向量
n
=(x,y,z)
,則
n
BF
=-
3
2
x+
3
2
y+z=0
,
n
BD
=-x-
3
y=0
,
令y=1,則x=-
3
z=-2
3
,
n
=(-
3
,1,-2
3
)
,|
n
|=4
…(8分)
同理可求平面BDE的法向量為
m
=(-
3
,1,
3
)
…(10分)
cos<
n
,
m
>=
n
m
|
n
||
m
|
=-
7
14
…(11分)
二面角F-BD-E的正弦值為
189
14
.…(12分)
點評:本題考查線面垂直,考查面面角,考查利用空間向量解決空間角問題,確定平面的法向量是關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

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函數(shù)f(x)在定義域R內可導,若對x∈R,恒有f(1+x)=f(1-x),且當x∈(-∞,1)時,(x-1)f′(x)<0,設a=f(0),b=f(
1
2
),c=f(3),則(  )
A、b<c<a
B、c<a<b
C、c<b<a
D、a<b<c

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,∠AB1B=45°,∠CB1C1=60°,則異面直線AB1與A1D所成角的余弦值為( 。
A、
3
6
B、
2
6
C、
6
3
D、
6
4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,側面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC,PA=AB=BC=2AD,E是PC的中點.
(Ⅰ)求證:DE⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角A-PD-E的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=2,點E是SD的中點.
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(Ⅱ)求異面直線AC與BE夾角的大。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(x1,y1)在單位圓O上,∠xOA=α,且α∈(
π
6
π
2
).
(1)若cos(α+
π
3
)=-
11
13
,求x1的值;
(2)若B(x2,y2)也是單位圓O上的點,且∠AOB=
π
3
.過點A、B分別做x軸的垂線,垂足為C、D,記△AOC的面積為S1,△BOD的面積為S2.設f(α)=S1+S2,求函數(shù)f(α)的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設線段A1C與平面ABC1D1交于Q,求證:B、Q、D1三點共線.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

求下列函數(shù)的值域:
(1)y=x+
16
x
(8≤x≤16);
(2)y=
x
2
+
2
x
(0<x≤1);
(3)y=
x2+5
x2+4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某校舉辦一場籃球投籃選拔比賽,比賽的規(guī)則如下:每個選手先后在二分區(qū)、三分區(qū)和中場跳球區(qū)三個位置各投一球,只有當前一次球投進后才能投下一次,三次全投進就算勝出,否則即被淘汰.已知某選手在二分區(qū)投中球的概率為
4
5
,在三分區(qū)投中球的概率為
3
5
,在中場跳球區(qū)投中球的概率為
2
5
,且在各位置投球是否投進互不影響.
(Ⅰ)求該選手被淘汰的概率;
(Ⅱ)該選手在比賽中投球的個數(shù)記為ξ,求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望Eξ.(注:本小題結果可用分數(shù)表示)

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