Question

已知多面體ABCDEF中，AB∥CD∥EF，平面ABCD與平面ADE垂直，△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，點G為邊BC的中點，且AB=AD=2，CD=4，EF=3．
（1）求證：FG⊥平面ABCD；
（2）若∠ADC=120°，求二面角F-BD-E的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取AD中點O，連接OG、OE，利用面ADE⊥面ABCD，證明EO⊥面ABCD，可證四邊形OGFE為平行四邊形，從而可得結論；
（2）建立空間坐標系，確定面BDE的法向量、面BDF的法向量，利用向量的夾角公式，可得結論．

解答： （1）證明：取AD中點O，連接OG、OE，
∵△ADE為等腰三角形，
∴OE⊥AD…（1分）
∵平面ABCD⊥平面ADE，平面ABCD∩平面ADE=AD，且OE?平面AED，
∴OE⊥平面ABCD…..（3分）
∵AB∥EF∥CD，且O、G分別是AD、BC的中點
∴OG∥EF，OG=3=EF，
∴四邊形OGFE是平行四邊形，
∴OE∥FG…..（4分）
∴FG⊥平面ABCD．…..（5分）
（2）解：連接OB，
在△ABD中，AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ADB是等邊三角形，即OB⊥AD．
由（1）知，OE⊥平面ABCD，分別以

OA

、

OB

、

OE

為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A（1，0，0），B(0，

3

，0)，D（-1，0，0），E（0，0，1），
利用

DC

=2

AB

及

EF

=

3

2

AB

得C(-3，2

3

，0)、F(-

3

2

，

3 3

2

，1)，…．（6分）
設平面BDF的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

•

BF

=-

3

2

x+

3

2

y+z=0，

n

•

BD

=-x-

3

y=0，
令y=1，則x=-

3

，z=-2

3

，
即

n

=(-

3

，1，-2

3

)，|

n

|=4…（8分）
同理可求平面BDE的法向量為

m

=(-

3

，1，

3

)…（10分）
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=-

7

14

…（11分）
∴二面角F-BD-E的正弦值為

189

14

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查利用空間向量解決空間角問題，確定平面的法向量是關鍵．