【題目】在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,點M、N分別在邊AB、BC上,沿直線MD、DN、NM,分別將△AMD、△CDN、△BNM折起,點A,B,C重合于一點P.

(1)證明:平面PMD⊥平面PND;
(2)若cos∠DNP= ,PD=5,求直線PD與平面DMN所成角的正弦值.

【答案】
(1)證明:∵翻折前MB⊥NB,MA⊥DA,∴翻折后MP⊥NP,MP⊥PD,

∵NP∩PD=P,∴MP⊥平面PND,

∵M(jìn)P平面PMD,∴平面PMD⊥平面PND


(2)解:由題意得AM=BM=PM,BN=CN=PN,AD=CD=PN,

設(shè)AM=a,BN=b,作DH⊥BC,NH= ,

∴AD=BN+NH=b+ ,

=3ab+ ,

SMND=S梯形ABCD﹣SAMD﹣SMBN﹣SDNC

=3ab+

=ab+ ,

= = =

PO⊥平面MPN,

PO= = = ,

sin

如圖, ,

解得a= ,b= ,代入上式得sin∠PDO=

∴直線PD與平面DMN所成角的正弦值為


【解析】(1)推導(dǎo)出翻折后MP⊥NP,MP⊥PD,由此能證明平面PMD⊥平面PND.(2)由題意得AM=BM=PM,BN=CN=PN,AD=CD=PN,設(shè)AM=a,BN=b,作DH⊥BC,由此入手能求出直線PD與平面DMN所成角的正弦值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則

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