Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知側棱AA₁⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的等邊三角形，M是AA₁上的一點，AA₁=4，A₁M=1．P是棱BC上的一點，且由點P沿棱柱側面經(jīng)過棱CC₁到點M的最短距離為3

2

．設此最短距離的折線與CC₁交于點N．
（1）求證：A₁B∥平面MNP；
（2）求平面MNP和平面ABC所成二面角（銳角）的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由AA₁⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，知側面均為全等的矩形，將側面旋轉120°，使其與側面ACC₁A₁在同一個平面上，點P運動到P₁位置，聯(lián)結MP₁，設A₁C與MN交于點Q，則A₁B∥PQ，由此能證明A₁B∥平面MNP．
（2）連接PP₁，則PP₁為平面MNP與平面ABC的交線．作MH⊥PP₁于點H，連接CH，則∠NHC即為平面ABC與平面MNP所成二面角的平面角，由此能求出平面MNP和平面ABC所成二面角（銳角）的正切值．

解答： （1）證明：∵AA₁⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面均為全等的矩形．
如圖所示，將側面旋轉120°，使其與側面ACC₁A₁在同一個平面上．
在同一個平面內(nèi)，點P運動到P₁位置，聯(lián)結MP₁，
則MP₁即為點P沿棱柱側面經(jīng)過棱CC₁到點M的最短路徑．…（3分）
設PC=x，則P₁C=x，在Rt△MAP₁，
注意到（2+x）²+x²=18，得x=1．
故P為BC的中點，于是NC=1．
設A₁C與MN交于點Q，則Q為A₁C的中點，
所以A₁B∥PQ，所以A₁B∥平面MNP．…（6分）
（2）解：如圖，連接PP₁，
則PP₁即為平面MNP與平面ABC的交線．
作MH⊥PP₁于點H，連接CH．
又因為CC₁⊥平面ABC，從而CH⊥PP₁．
故∠NHC即為平面ABC與平面MNP所成二面角的平面角．…（10分）
在Rt△PHC中，由∠PCH=

1

2

∠PCP1=60°，則CH=

1

2

．
在Rt△NHC中，tan∠NHC=

NC

CH

=2．
故平面MNP和平面ABC所成二面角（銳角）的正切值為2．…（13分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，涉及到線線、線面、面面的平行與垂直的性質，考查旋轉問題的應用，是中檔題．