Question

已知曲線C是平面內(nèi)到兩條定直線x=0，y=x距離之和為8的點的軌跡，給出下列四個結(jié)論：
①曲線C關(guān)于y軸對稱；
②曲線C關(guān)于原點對稱；
③曲線C上任意一點P在x軸上的投影點為Q，則|OQ|≤8；
④曲線C與x軸、y軸在第一象限內(nèi)圍成的圖形的面積為16（3

2

-2）．
則以上結(jié)論中正確的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)點P（x，y）是曲線C上的任意一點，由點P滿足平面內(nèi)到兩條定直線x=0，y=x距離之和為8，可得|x|+

|x-y|

2

=8，當(dāng)8≥x≥y，x≥0時，化為(1+

2

)x-y-8

2

=0；y≥x≥0，x≤8時，化為(1-

2

)x-y+8

2

=0．當(dāng)x≥y，-8≤x＜0時，化為(1-

2

)x-y-8

2

=0；y≥x，0＞x≥-8時，化為(1+

2

)x-y+8

2

=0．
畫出圖象：即可得出．

解答： 解：設(shè)點P（x，y）是曲線C上的任意一點，由點P滿足平面內(nèi)到兩條定直線x=0，y=x距離之和為8，
∴|x|+

|x-y|

2

=8，
當(dāng)8≥x≥y，x≥0時，化為(1+

2

)x-y-8

2

=0；y≥x≥0，x≤8時，化為(1-

2

)x-y+8

2

=0．
當(dāng)x≥y，-8≤x＜0時，化為(1-

2

)x-y-8

2

=0；y≥x，0＞x≥-8時，化為(1+

2

)x-y+8

2

=0．
畫出圖象：
可得：①曲線C關(guān)于y軸對稱，不正確；
②曲線C關(guān)于原點對稱，正確；
③曲線C上任意一點P在x軸上的投影點為Q，則|OQ|≤8，正確；
④曲線C與x軸、y軸在第一象限內(nèi)圍成的圖形的面積S=

1

2

×16

2

×8-

1

2

×8

2

×(16-8

2

)
=64．因此不正確．
綜上可得：只有②③正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查了點的軌跡方程圖象及其性質(zhì)，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．