Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)于一切，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)總存在唯一零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和，若是單調(diào)遞增數(shù)列，求的取值范圍；

（3）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)為，判斷數(shù)列、、、、的增減性，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）遞增，理由詳見解析.

【解析】

（1）分析出函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由可得出關(guān)于的不等式組，從而解出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）由題意得出，利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后由數(shù)列為遞增數(shù)列，得出，利用作差法得出關(guān)于的不等式，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）由題意得出，利用放縮法證明出，然后利用函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增得出，然后利用數(shù)列單調(diào)性的定義可得出數(shù)列、、、、的增減性.

（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

由于函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，則，

，，，.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（2）當(dāng)時(shí)，，則.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

.

由于數(shù)列是遞增數(shù)列，對(duì)任意的，.

于是有且恒成立.

由，得，解得.

當(dāng)時(shí)，由，得，可得.

構(gòu)造數(shù)列，則，

所以，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（3）數(shù)列、、、、為遞增數(shù)列，證明如下：

當(dāng)，時(shí)，，該函數(shù)在上單調(diào)遞增.

由函數(shù)零點(diǎn)的定義可得.

，，，

由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，.

因此，數(shù)列、、、、為遞增數(shù)列.