Question

已知圓錐母線長為6，底面圓半徑長為4，點(diǎn)M是母線PA的中點(diǎn)，AB是底面圓的直徑，底面半徑OC與母線PB所成的角的大小等于θ．
（1）當(dāng)θ=60°時(shí)，求異面直線MC與PO所成的角；
（2）當(dāng)三棱錐M-ACO的體積最大時(shí)，求θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間角

分析：（1）過點(diǎn)M作MD⊥AO，從而MD∥PO，∠DMC即異面直線MC與PO所成的角；（2）當(dāng)三棱錐M-ACO的體積最大時(shí)，其高為

5

，只需棱錐底面△ACO面積最大，即可，從而求得θ值．

解答： （12分） 解：（1）連MO，過M作MD⊥AO交AO于點(diǎn)D，連DC．
又PO=

62-42

=2

5

，∴MD=

5

．又OC=4，OM=3．
又MD∥PO，∴∠DMC等于異面直線MC與PO所成的角或其補(bǔ)角．
∵M(jìn)O∥PB，∴∠MOC=60°或120°．…（5分）
當(dāng)∠MOC=60°時(shí)，∴MC=

13

．
∴cos∠DMC=

MD

MC

=

65

13

，∴∠DMC=arccos

65

13

當(dāng)∠MOC=120°時(shí)，∴MC=

37

．∴cos∠DMC=

MD

MC

=

185

37

，∴∠DMC=arccos

185

37

綜上異面直線MC與PO所成的角等于arccos

65

13

或arccos

185

37

．…（8分）
（2）∵三棱錐M-ACO的高為MD且長為

5

，要使得三棱錐M-ACO的體積最大只要底面積△OCA的面積最大．而當(dāng)OC⊥OA時(shí)，△OCA的面積最大．…（10分）
又OC⊥OP，此時(shí)OC⊥平面PAB，∴OC⊥PB，θ=90°．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角，及三棱錐體積最值問題，數(shù)中檔題．