Question

【題目】設(shè)f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x+2）=﹣f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x．
（1）求f（π）的值；
（2）求﹣1≤x≤3時(shí)，f（x）的解析式；
（3）當(dāng)﹣4≤x≤4時(shí)，求f（x）=m（m＜0）的所有實(shí)根之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x+2）=﹣f（x），

∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），

即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，

則f（π）=f（π﹣4）=﹣f（4﹣π）=﹣（4﹣π）=π﹣4

（2）解：若﹣1≤x≤0，則0≤﹣x≤1，

則f（﹣x）=﹣x，

∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），

即f（x）=x，﹣1≤x≤0，

即當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（x）=x，

若1≤x≤3，則﹣1≤x﹣2≤1，

∵f（x+2）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣f（x﹣2）=﹣（x﹣2）=﹣x+2，

即當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，f（x）的解析式為f（x）=

（3）解：作出函數(shù)f（x）在﹣4≤x≤4時(shí)的圖象如圖，

則函數(shù)的最小值為﹣1，

若m＜﹣1，則方程f（x）=m（m＜0）無(wú)解，

若m=﹣1，則函數(shù)在﹣4≤x≤4上的零點(diǎn)為x=﹣1，x=3，則﹣1+3=2，

若﹣1＜m＜0，則函數(shù)在﹣4≤x≤4上共有4個(gè)零點(diǎn)，則它們分別關(guān)于x=﹣1和x=3對(duì)稱(chēng)，

設(shè)分別為a，b，c，d，

則a+b=﹣2，b+d=6，

即a+b+c+d=﹣2+6=4．

【解析】（1）由f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x）為周期為4的周期函數(shù)，即f（π）=π-4，（2）結(jié)合分段函數(shù)和函數(shù)的奇偶性可得出每段的解析式，（3）作出f（x）在﹣4≤x≤4的圖像，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不難得出所有實(shí)根之和為4.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．