Question

若曲線Γ上的點P（x，y）到點F（1，0）的距離與它到x=4的距離之比為

1

2

．
（1）求出P點的軌跡方程
（2）過F（1，0）作直線l與曲線Γ交于A，B兩點，曲線Γ與x軸正半軸交于Q點，若△QAB的面積為

12

13

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知得等式

(x-1)2+y2

|4-x|

=

1

2

，整理后即可得到P點的軌跡方程；
（2）設(shè)出過F（1，0）的直線的方程為x=ty+1，A，B的坐標，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點的縱坐標的和與積，代入三角形的面積公式求得t的值，則直線方程可求．

解答： 解：（1）由題意知：

|PF|

|4-x|

=

1

2

，即

(x-1)2+y2

|4-x|

=

1

2

，
整理得：

x2

4

+

y2

3

=1．
∴P點的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)直線的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，化簡得：（3t²+4）y²+6ty-9=0．
y1+y2=

-6t

3t2+4

，y1y2=

-9

3t2+4

，
S△QAB=

1

2

|QF||y₁-y₂|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

．
∵S△QAB=

12

13

，
∴

6 t2+1

3t2+4

=

12

13

，
解得：t=±

3

．
∴直線的方程為x+

3

y-1=0或x-

3

y-1=0；

點評：本題考查了橢圓的第二定義，考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是中檔題．