(2013•濟寧二模)設點P(x,y)到直線x=2的距離與它到定點(1,0)的距離之比為
2
,并記點P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設M(-2,0)的,過點M的直線l與曲線C相交于E,F(xiàn)兩點,當線段EF的中點落在由四點C1(-1,0),C2(1,0),B1(0,-1),B2(0,1)構成的四邊形內(nèi)(不包括邊界)時,求直線l斜率的取值范圍.
分析:(I)利用點P(x,y)到直線x=2的距離與它到定點(1,0)的距離之比為
2
,建立方程,化簡可得曲線C的方程;
(Ⅱ)設出直線方程代入橢圓方程,利用韋達定理求出G的坐標,判斷出G在正方形內(nèi),即可求得直線l斜率的取值范圍.
解答:解:(I)∵點P(x,y)到直線x=2的距離與它到定點(1,0)的距離之比為
2

|x-2|
(x-1)2+y2
=
2

x2
2
+y2=1

∴曲線C的方程為
x2
2
+y2=1
;
(Ⅱ)設直線l的方程為y=k(x+2),設E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),線段EF的中點G(x0,y0),
直線方程代入橢圓方程可得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0
由△>0,可得-
2
2
<k<
2
2

∵x1+x2=
-8k2
1+2k2
,∴x0=
-4k2
1+2k2
,y0=
2k
1+2k2

∵x0=
-4k2
1+2k2
≤0,∴點G不可能在y軸的右邊
∵直線C1B2,C1B1的方程為y=x+1,y=-x-1
∴點G在正方形內(nèi)的充要條件為
y0x0+1
y0>-x0-1
,即
2k2+2k-1<0
2k2-2k-1<0

-
3
-1
2
<k<
3
-1
2

綜上可知,-
3
-1
2
<k<
3
-1
2
點評:本題考查軌跡方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查學生分析解決問題的能力,綜合性強.
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