Question

巳知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，滿足：S₂=3，2S_n=n+na_n，n∈N^*，數(shù)列{b_n}是遞增的等比數(shù)列，且b₁+b₄=9，b₂•b₃=8，
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）求和T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=1先求出首項，當n≥2時，仿寫一個新的等式，兩個式子相減得到關(guān)于項之間的遞推關(guān)系，再仿寫一個新等式，兩個式子相減得到等差中項，判斷出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式求出通項；設(shè)出數(shù)列{b_n}的公比，利用等比數(shù)列的通項公式將已知等式用首項及公比不是，解方程組求出首項與公比，利用等比數(shù)列的通項公式求出通項．
（2）根據(jù)數(shù)列通項的特點，利用錯位相減的方法求出數(shù)列的前n項和．
解答：解：（1）當n=1時，2a₁=1+a₁解得a₁=1
當n≥2時，2S_n=n+na_n    ①
2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1   ②
①-②得2a_n=1+na_n-（n-1）a_n-1   ③
∴2a_n+1=1+（n+1）a_n+1-na_n    ④
④-③得a_n+1+a_n-1=2a_n
又S₃=3，a₁=1
∴a₂=2
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列
∴a_n=n
設(shè)數(shù)列{b_n}的公比為q，則
解得b₁=1，q=2
∴b_n=2^n-1
（2）由（1）得T_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1
2T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴-T_n=1+2+2²+2³+…+n•2ⁿ=
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1
點評：通過數(shù)列的項與和之間的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項，一般采用仿寫作差的方法將項與和的關(guān)系轉(zhuǎn)化為項的遞推關(guān)系再求通項；求數(shù)列的前n項和，一般采用根據(jù)數(shù)列的通項的形式，選擇合適的求和方法．