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20.已知等差數(shù)列{an},公差d≠0,滿足:a1,a2,a4成等比數(shù)列,且a3+a5=8.?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1,2bn-bn-1=0(n≥2,n∈N*).設(shè)cn=an•bn
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的和Tn;
(3)設(shè)整數(shù)m、M使得m<Tn<M對(duì)?n∈N*恒成立,求M-m的最小值.

分析 (1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和題中的關(guān)系,建立首項(xiàng)a1與公差d的方程組,解之得a1=1,d=2,即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)由等比數(shù)列的定義求得bn;結(jié)合(1)的結(jié)果求得{cn}的通項(xiàng)公式.利用錯(cuò)位相減法來(lái)求Tn;
(3)利用(2)中Tn的通項(xiàng)公式求得M、m的值;然后求M-m的最小值.

解答 解:(1)由題設(shè)a22=a1•a4,即(a1+d)2=a1•(a1+3d),亦即a1d=d2. 
又d≠0,故a1=d.
又由a3+a5=8,得a4=4,即a1+3d=4,于是a1=d=1.
  an=1+(n-1)=n.
(2)∵2bn-bn-1=0,
nn1=12,
∴bn=(12n-1,
∴cn=n•(12n-1,
∴Tn=1•(121-1+2•(122-1+3•(123-1+…+n•(12n-1,
12Tn=1•(122-1+2•(123-1+…+n•(12n
12Tn=1+12+…+(12n-1-n•(12n,
Tn=4[1-(12n]-n•(12n-1,
=4-4•(12n-n•(12n-1,
=4-(2n+4)(12n;
(3)由(2)可得:Tn<4且Tn>3,
∴Tn+1-Tn=4-(2n+6)(12n+1-4+(2n+4)(12n=(12n(n+1)>0,
∴Tn≥T1=1,
∴當(dāng)M=4,m=0時(shí),M-m取得最小值4.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列求和的方法,屬常規(guī)題目,屬中檔題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.

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