Question

已知函數(shù)f（x）=3-4^x，g（x）=2^x+1，H（x）=f（x）+g（x），x∈R．
（1）設函數(shù)M（x）=

H(x)-|f(x)-g(x)|

2

，求M（x）的最大值；
（2）判斷H（x）的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（3）當x∈[a，a+1]（a∈R）時，求H（x）的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：證明題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）先求M（x）的解析式，再由M（x）的單調(diào)性，求出最大值；
（2）運用單調(diào)性的定義，在R上任取兩數(shù)x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）與0的大小，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）對a進行討論，屬于對稱軸定區(qū)間動的情形，分三種情況．

解答： 解：（1）f（x）-g（x）=3-4^x-2^x+1=-（2^x）²-2×2^x+3=-（2^x-1）（2^x+3）
令f（x）-g（x）≥0得x≤0，由f（x）-g（x）＜0得x＞0，
M（x）=

g(x)(x≤0) f(x)(x＞0)

，當x≤0時，M（x）=g（x）=2^x+1≤2，
當x＞0，M（x）=f（x）=3-4^x＜2，
∴M（x）的最大值為2．
（2）H（x）=3-4^x+2^x+1=-4^x+2×2^x+3，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
H（x₁）-H（x₂）=-4x1+2×2x1+3-(-4x2+2×2x2+3)=(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)
∵2x2-2x1＞0，
當x₁＜x₂＜0時，2x2+2x1-2＜0，f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
當x₂＞x₁＞0時，2x2+2x1-2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3））H（x）=-4^x+2×2^x+3，
令t=2^x，∵x∈[a，a+1]，∴t∈[2^a，2^a+1]，t＞0，
∴y=-t²+2t+3=-（t-1）²+4，當t∈（0，1）時y單調(diào)遞減，當t∈（1，+∞）時單調(diào)遞增，
由（2）知當a≥0即t≥1時，H（x）單調(diào)遞減，∴當t=2^a時，有最大值，且最大值為H（a）=-4^a+2^a+1+3；
當a≤-1時即t+1≤1時，H（x）單調(diào)遞增，∴當t=2^a+1時，有最大值，且最大值為H（a+1）=-4^a+1+2^a+2+3；
當-1＜a＜0即

1

2

＜t＜2，H（x）在（

1

2

，1）單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，當t=1時有最大值，且最大值為H（1）=4．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，最值，復合函數(shù)單調(diào)性，注意復合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于中檔題．