Question

已知函數(shù)f（x）=

1

xsinθ

+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），
（1）求θ的值；
（2）若g（x）=f（x）+mx在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′(x)=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，從而

sinθx-1

sinθx2

≥0．由此能求出θ的值．
（2）由g′(x)=-

1

x2

+

1

x

+m=

mx2+x-1

x2

，得mx²+x-1≥0，或mx²+x-1≤0在[1，+∞）恒成立，由此能求出m的取值范圍．
（3）構(gòu)造F（x）=kx-

1

x

-lnx-

2e

x

=kx-

1+2e

x

-lnx，轉(zhuǎn)化為：若在[1，e]上存在x₁，使得F（x₀）＞0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

xsinθ

+lnx，
∴f′(x)=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即

sinθx-1

sinθx2

≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．
故sinθx-1≥0在[1，+∞）上恒成立
只須sinθ•1-1≥0，即sinθ≥1，
又0＜sinθ≤1，只有sinθ=1，得θ=

π

2

．…（4分）
（2）g（x）=f（x）+mx=

1

x

+lnx+mx，
∴g′(x)=-

1

x2

+

1

x

+m=

mx2+x-1

x2

，
∵g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，
∴mx²+x-1≥0，或mx²+x-1≤0在[1，+∞）恒成立．…（7分）
∴m≥

1-x

x2

，或m≤

1-x

x2

在[1，+∞）恒成立．
∵-

1

4

≤

1-x

x2

≤0，
∴m的取值范圍是m≤-

1

4

，m≥0．…（8分）
（3）構(gòu)造F（x）=kx-

1

x

-lnx-

2e

x

=kx-

1+2e

x

-lnx，
則轉(zhuǎn)化為：若在[1，e]上存在x₁，使得F（x₀）＞0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍…（9分）
①當(dāng)k≤0時，x∈[1，e]，F(xiàn)（x）＜0在[1，e]恒成立，
∴在[1，e]上不存在x₀，使得kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

成立．
②當(dāng)k＞0時，F′(x)=k+

1+2e

x2

-

1

x

=

kx2+1+2e-x

x2

=

kx2+1+e+(e-x)

x2

，
∵x∈（1，e），∴e-x＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e）恒成立，
故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）_max=F（e）=ke-

1

e

-3，
只要ke-

1

e

-3＞0，
解得k＞

3e+1

e2

．
綜上，k的取值范圍是（

3e+1

e2

，+∞）．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查角的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．