Question

已知f（x）=-（

1

4

）^x+m（

1

2

）^x+3（-1≤x≤1）的最大值為4，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先用換元法，令t=(

1

2

)x，將f（x）轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的一個(gè)二次函數(shù)，再配方，對(duì)m進(jìn)行分類討論，屬于區(qū)間定對(duì)稱軸定的情形．

解答： 解：令t=(

1

2

)x，∵-1≤x≤1，∴t∈[

1

2

，2]，
f（x）=y=-t²+mt+3，對(duì)稱軸為t=

m

2

，
當(dāng)

m

2

≤

1

2

即m≤1時(shí)，y在[

1

2

，2]上單調(diào)遞減，當(dāng)t=

1

2

時(shí)，有最大值-

1

4

+

m

2

+3=4，解得m=

5

2

（舍去），
當(dāng)

m

2

≥2即m≥4時(shí)，y在[

1

2

，2]上單調(diào)遞增，當(dāng)t=2時(shí)，有最大值-4+2m+3=4，解得m=

5

2

（舍去），
當(dāng)

1

2

＜

m

2

＜2即1＜m＜4，y在[

1

2

，

m

2

]上單調(diào)遞增，在[

m

2

，2]上單調(diào)遞減，當(dāng)t=

m

2

時(shí)，有最大值

m2

4

+3=4，解得m=2或m=-2（舍去），
綜上得m=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了：換元思想、配方去，分類討論思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．