Question

已知函數(shù)f（x）=e

kx-1

x+1

（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）是（-1，+∞）上的增函數(shù)，求k的取值范圍；
（2）若對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜x+1，求滿足條件的最大整數(shù)k的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)g（x）=

kx-1

x+1

，求出導(dǎo)數(shù)，再由單調(diào)性可得g（x））是（-1，+∞）上的增函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)大于0，即可得到；
（2）先猜想滿足條件的最大整數(shù)k=2．再證明，設(shè)h（x）=ln（x+1）+

3

x+1

，再由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再由單調(diào)性得到h（x）≥h（2），即可得證．

解答： 解：（1）設(shè)g（x）=

kx-1

x+1

，導(dǎo)數(shù)g′（x）=

k(x+1)-kx+1

(x+1)2

=

k+1

(x+1)2

由于f（x））是（-1，+∞）上的增函數(shù)，且e＞1，則g（x））是（-1，+∞）上的增函數(shù)，
即有g(shù)′（x）＞0，即有k＞-1，即k的取值范圍是（-1，+∞）；
（2）由條件可得，f（1）＜2，即e

k-1

2

＜2，即有k＜1+2ln2＜3，猜想滿足條件的最大整數(shù)k=2．
證明：對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜x+1．
e

2x-1

x+1

＜x+1?2-

3

x+1

＜ln（x+1）?ln（x+1）+

3

x+1

＞2，
設(shè)h（x）=ln（x+1）+

3

x+1

，則h′（x）=

1

x+1

-

3

(x+1)2

=

x-2

(x+1)2

當(dāng)0＜x＜2時，h′（x）＜0，當(dāng)x＞2時，h′（x）＞0，
則?x＞0，則h（x）≥h（2）=1+ln3＞2，
即有對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜x+1．
則滿足條件的最大整數(shù)k=2．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和判斷單調(diào)性，考查不等式恒成立思想，以及單調(diào)性的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．