Question

13．（1）已知x＞2，求x+$\frac{9}{x-2}$的最小值；
（2）計(jì)算：$\frac{-2\sqrt{3}+i}{1+2\sqrt{3}i}$+$（\frac{\sqrt{2}}{1-i}）$²⁰¹⁶．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和基本不等式求出式子的最小值；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)后求出答案．

解答 解：（1）∵x＞2，則x-2＞0，
∴$x+\frac{9}{x-2}$=$x-2+\frac{9}{x-2}$+2
≥2$\sqrt{（x-2）×\frac{9}{x-2}}+2$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)$x-2=\frac{9}{x-2}$時(shí)取等號(hào)，即x=5，
∴$x+\frac{9}{x-2}$的最小值是8；
（2）$\frac{-2\sqrt{3}+i}{1+2\sqrt{3}i}+（\frac{\sqrt{2}}{1-i}）^{2016}$=$\frac{i（-2\sqrt{3}+i）}{i（1+2\sqrt{3}i）}+{[（\frac{\sqrt{2}}{1-i}）}^{2}]^{1008}$
=$\frac{（-2\sqrt{3}+i）i}{i-2\sqrt{3}}+{（\frac{2}{-2i}）}^{1008}$=i+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，以及基本不等式求最值問題，屬于基礎(chǔ)題．