Question

對數(shù)函數(shù)y=log_ax（a＞0且a≠1）和指數(shù)函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）互為反函數(shù)，已知函數(shù)g（x）=log 

1

2

x，其反函數(shù)為y=f（x）．
（1）若函數(shù)g（kx²+2x+1）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，求函數(shù)y=[f（x）]²-2tf（x）+3的最小值φ（t）；
（3）定義在I上的函數(shù)F（x），如果滿足，對任意x∈I，存在常數(shù)M，使得F（x）≤M成立，則稱函數(shù)F（x）是I上的“上限”函數(shù)，其中M為函數(shù)F（x）的“上限”，記h（x）=

1-mf(-x)

1+mf(-x)

（m≠0），試問：函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，1]上是否存在“上限”M？若存在，求出M的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意可得

k＞0 △=4-4k＜0

，從而解出k；
（2）由題意，y=f（x）=2^-x，y=[f（x）]²-2tf（x）+3=（2^-x-t）²+3-t²，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性討論求最小值；
（3）h（x）=

1-mf(-x)

1+mf(-x)

=

1-m2x

1+m2x

=-1+

2

1+m2x

；討論m從而確定是否有上限．

解答： 解：（1）∵g（kx²+2x+1）的定義域?yàn)镽，
∴

k＞0 △=4-4k＜0

，
解得，k＞1；
（2）由題意，y=f（x）=2^-x，
y=[f（x）]²-2tf（x）+3
=（2^-x）²-2t2^-x+3
=（2^-x-t）²+3-t²，
∵x∈[-1，1]，
∴2^-x∈[

1

2

，2]，
故當(dāng)t≤

1

2

時，y=（2^-x-t）²+3-t²在[-1，1]上單調(diào)遞減，
φ（t）=

1

4

-t+3=

13

4

-t，
當(dāng)t≥2時，y=（2^-x-t）²+3-t²在[-1，1]上單調(diào)遞增，
φ（t）=4-4t+3=7-4t，
當(dāng)

1

2

＜t＜2時，
φ（t）=3-t²，
綜上所述，
φ（t）=

13 4 -t，t≤ 1 2 3-t2， 1 2 ＜t＜2 7-4t，t≥2

；
（3）h（x）=

1-mf(-x)

1+mf(-x)

=

1-m2x

1+m2x

=-1+

2

1+m2x

，
當(dāng)m＞0，1+m2^x＞1，
則-1+

2

1+m2x

＜-1+2=1；
故M≥1；
當(dāng)m＜0時，1+m2^x可以趨近于0，
故沒有上限；
綜上所述，當(dāng)m＞0時，M≥1；
當(dāng)m＜0時，不存在M．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷及新定義的應(yīng)用，屬于難題．