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12.如圖,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,PA=AC=2,D是PA的中點,E是CD的中點,點F在PB上,PF=3FB
(1)證明:EF∥平面ABC;
(2)若∠BAC=60°,求點P到平面BCD的距離.

分析 (Ⅰ)法一:過點F作FM∥PA交AB于點M,取AC的中點N,連接MN,EN.證明四邊形MFEN為平行四邊形,推出EF∥MN,然后證明EF∥平面ABC.
法二:取AD中點G,連接GE,GF,推出GE∥AC,GF∥AB,證明平面GEF∥平面ABC,然后證明EF∥平面ABC.
(Ⅱ)證明BC⊥平面PAB.求出SBCD=12BCBD=62.記點P到平面BCD的距離為d,通過VP-BCD=VC-PBD,轉(zhuǎn)化求解點P到平面BCD的距離即可.

解答 (本小題滿分12分)
(Ⅰ)證明:法一:如圖,過點F作FM∥PA交AB于點M,
取AC的中點N,連接MN,EN.
∵點E為CD的中點,∴EN=12AD.又PF=3FB,∴MF=12AD,∴FM=EN,
所以四邊形MFEN為平行四邊形,
∴EF∥MN,∵EF?平面ABC,MN?平面ABC,
∴EF∥平面ABC.…(6分)

法二:如圖,取AD中點G,連接GE,GF,則GE∥AC,GF∥AB,
因為GE∩GF=G,AC∩AB=A,所以平面GEF∥平面ABC,
所以EF∥平面ABC.…(6分)

(Ⅱ)解:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
又BC⊥AB,AB∩PA=A,
∴BC⊥平面PAB.
又∠BAC=60°,AC=2,∴AB=1BC=3BD=2
SBCD=12BCBD=62
記點P到平面BCD的距離為d,則VP-BCD=VC-PBD,∴13SBCDd=13SPBDBC,
62d=12PDABBCd=22
所以,點P到平面BCD的距離為d=22.      …(12分)

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用,幾何體的體積的求法,點線面距離的求法,考查空間想象能力以及計算能力.

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