Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，E為PC中點(diǎn)，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求證：BC⊥平面PBD；
（3）若直線PB與底面ABCD所成角為45°，求線段PD的長(zhǎng)（此問(wèn)只需寫出答案，無(wú)需寫過(guò)程）．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理EF∥CD且EF=

1

2

CD=1，由平行四邊形的判定可得平行四邊形ABEF，由性質(zhì)定理可得BE∥AF，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）取CD中點(diǎn)M，連結(jié)BM，則四邊形ABMD為正方形，可得BD，BC的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理即可判斷BC⊥BD，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得出PD⊥BC，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（3）利用線面角的定義及等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出．

解答：解：（1）取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，
∵E為PC中點(diǎn)，∴EF∥CD，且EF=

1

2

CD=1，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，∴EF∥AB，EF=AB，
四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF，
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）取CD中點(diǎn)M，連結(jié)BM，可知△BMC為直角三角形且BM=MC=1，∴BC=

2

，
在△ABD中，可知BD=

2

，∴CD²=BD²+BC²，∴BC⊥BD．
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
又PD∩BD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（3）∵PD⊥底面ABCD，∴∠PBD是斜線PB與平面ABCD所成的線面角．
可知∠PBD=45°，由（2）可知：BD=

2

．
∴PD=BD=

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、線面角的定義及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．