Question

（2012•寧德模擬）已知角α的頂點與直角坐標系原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點P，且α∈[0，π）．
（1）若點P的坐標是(-3m，4m)，求cos(α-

π

3

)的值；
（2）設(shè)點M的坐標是(

1

2

，

3

2

)，求使得函數(shù)f(a)=

OM

•

MP

-k的恰有兩個零點的實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知及三角函數(shù)定義求出tanα的值小于0，再由α的范圍，確定出sinα和cosα的值，把所求式子利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，把sinα和cosα的值代入即可求出值；
（2）由M與P的坐標，表示出兩向量，利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算確定出f（α）的解析式，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，令解析式等于0，表示出1+k，根據(jù)α的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象求出正弦函數(shù)的值域，得出1+k的范圍，即可求出k的取值范圍．

解答：解：（1）由已知條件及三角函數(shù)定義，得到tanα=-

3

4

，又α∈[0，π），
∴sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
則cos（α-

π

3

）=cosαcos

π

3

+sinαsin

π

3

=-

3

5

×

1

2

+

4

5

×

3

2

=

-3+4 3

10

；
（2）由點M的坐標是(

1

2

，

3

2

)，P（cosα，sinα），
由已知令f（α）=

OM

•

MP

-k=（

1

2

，

3

2

）（cosα-

1

2

，sinα-

3

2

）-k
=（

1

2

cosα+

3

2

sinα）-1-k=sin（α+

π

6

）-1-k=0，
即1+k=sin（α+

π

6

），
又α∈[0，π），∴α+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

），
由正弦定理圖象得：1+k∈[

1

2

，1），
則函數(shù)f(a)=

OM

•

MP

-k的恰有兩個零點的實數(shù)k取值范圍是-

1

2

≤k＜0．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及任意角的三角函數(shù)定義，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．