Question

已知函數(shù)f（x）=a^2x-2a^x+1+2（a＞0，a≠1）的定義域為[-1，+∞）．
（1）若a=2，求f（x）的值域；
（2）求f（x）的最小值；
（3）當(dāng)0＜a＜1時，若f（x）≤3對x∈[-1，2]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法，交原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，易得本題結(jié)論；
（2）按0＜a＜1和a＞1進行分類討論，先確定a^x的取值范圍，再換元研究所得到二次函數(shù)的最小值，得到本題結(jié)論；（3）當(dāng)0＜a＜1，x∈[-1，2]時，求出f（x）的最大值，令f（x）最大值小于或等于3，得到參數(shù)a的取值范圍，即本題結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時，
f（x）=2^2x-2•2^x+1+2，
f（x）=2^2x-4•2^x+2，x∈[-1，+∞）．
令2^x=t，（t≥

1

2

），
g（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2≥-2．
當(dāng)且僅當(dāng)t=2時取最值．
∴當(dāng)a=2時，f（x）的值域為[-2，+∞）；
（2）令a^x=t，
①當(dāng)a＞1時，
∵x∈[-1，+∞），
∴t∈[

1

a

，+∞)．
g（t）=t²-2at+2=（t-a）²+2-a²．
∵a＞1，
∴

1

a

＜1＜a．
∴g（t）≥2-a²．
∴f（x）的最小值為：2-a²．
②當(dāng)0＜a＜1時，
∵x∈[-1，+∞），
∴0＜t≤

1

a

．
g（t）=t²-2at+2=（t-a）²+2-a²．
∵0＜a＜1，
∴a＜1＜

1

a

．
∴g（t）≥2-a²．
∴f（x）的最小值為：2-a²．
綜上，f（x）的最小值為：2-a²．
（3）當(dāng)0＜a＜1時，
令a^x=t，
g（t）=t²-2at+2，
∵當(dāng)0＜a＜1時，
∵f（x）≤3對x∈[-1，2]恒成立，
∴g（t）≤3，t∈[a²，

1

a

]．
∴

g(a2)≤3 g( 1 a )≤3

．
∴

-2a2+1-a4≤0，恒成立 a≤- 3 3 或a≥ 3 3

，
∴

3

3

≤a＜1．
∴a的取值范圍是[

3

3

，1)．

點評：本題考查了函數(shù)值域求法，還考查了恒成立問題，本題的思維量適中，計算量較大，屬于中檔題．