Question

已知實(shí)數(shù)m＞1，定點(diǎn)A（-m，0），B（m，0），S為一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)S與A，B兩點(diǎn)連線斜率之積為

1

m2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)S的軌跡C的方程；
（2）當(dāng)m=

2

時(shí)，問k取何值時(shí)，直線y=kx-2與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)S（x，y），則k_SA=

y-0

x+m

，k_SB=

y-0

x-m

，由題意可得

x2

m2

-y2=1（y≠0）；
（2）軌跡C的方程為

x2

2

-y2=1，聯(lián)立消y得（1-2k²）x²+8kx-10=0，則k=±

2

2

或k=±

10

2

．

解答： 解：（1）設(shè)S（x，y），則k_SA=

y-0

x+m

，k_SB=

y-0

x-m

，
則由題意可得，

y-0

x+m

×

y-0

x-m

=

1

m2

，
即

x2

m2

-y2=1（y≠0）；
（2）當(dāng)m=

2

時(shí)，軌跡C的方程為

x2

2

-y2=1，
則

y=kx-2 x2 2 -y2=1

，消去y可得，
（1-2k²）x²+8kx-10=0，
若1-2k²=0，即k=±

2

2

時(shí)，成立；
若1-2k²≠0，則
△=64k²+4×10×（1-2k²）=0，
解得，k=±

10

2

，
綜上所述，k=±

2

2

或k=±

10

2

時(shí)，直線y=kx-2與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，屬于中檔題．