Question

3．《數(shù)學(xué)九章》中對(duì)已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隔，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{c}^{2}{a}^{2}-（\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2}）^{2}]}$．現(xiàn)有周長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$的△ABC滿足sinA：sinB：sinC=（$\sqrt{2}$-1）：$\sqrt{5}$：（$\sqrt{2}$+1），試用以上給出的公式求得△ABC的面積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由題意和正弦定理求出a：b：c，結(jié)合條件求出a、b、c的值，代入公式求出△ABC的面積．

解答 解：因?yàn)閟inA：sinB：sinC=（$\sqrt{2}$-1）：$\sqrt{5}$：（$\sqrt{2}$+1），
所以由正弦定理得，a：b：c=（$\sqrt{2}$-1）：$\sqrt{5}$：（$\sqrt{2}$+1），
又△ABC的周長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
則a=（$\sqrt{2}$-1）、b=$\sqrt{5}$、c=（$\sqrt{2}$+1），
所以△ABC的面積S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{c}^{2}{a}^{2}-{（\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2}）}^{2}]}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}[{（\sqrt{2}+1）}^{2}{（\sqrt{2}-1）}^{2}-{（\frac{{（\sqrt{2}+1）}^{2}+{（\sqrt{2}-1）}^{2}-5}{2}）}^{2}]}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}{[1-（\frac{1}{2}）}^{2}]}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，以及新定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．