Question

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）在區(qū)間上的極小值等于，求；

（Ⅱ）令， .曲線與交于， 兩點(diǎn)，求證: 在中點(diǎn)處的切線斜率大于.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，明確函數(shù)的極小值，從而得到值；（2）記，要證在中點(diǎn)處的切線斜率大于，即證，

只需證 .

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)?/span>,所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù).

因?yàn)?/span>， ，由題意: 在區(qū)間上的極小值,故

所以. 設(shè)為在區(qū)間上的極小值點(diǎn),

故,所以.

設(shè)， ，則，

所以，即在上單調(diào)遞減，易得出,故．

代入可得,滿足,故．

（Ⅱ）,由題意有兩解， ，不妨設(shè).

，或（舍）.

要證在中點(diǎn)處的切線斜率大于，即證，

即證，只需證 .（*）

又， ，所以兩式相減，并整理，

得 .把 代入（*）式，

得只需證，可化為.

令，得只需證.令（），

則 ，所以在其定義域上為增函數(shù)，

所以.

故在中點(diǎn)處的切線斜率大于.