Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項和為T_n，求證：T_n＜

1

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由S_n=na_n-2n（n-1），得數(shù)列{a_n}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，由此能求出求a₂，a₃，a₄，{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）利用裂項求和法能證明T_n＜

1

4

．

解答： （Ⅰ）解：由S_n=na_n-2n（n-1），
得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，
∴a_n+1-a_n=4，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列…（4分）
∴a_n=4n-3，a₂=5，a₃=9，a₄=13…（7分）
（求出a₂，a₃，a₄給（3分），猜出通項公式給5分）
（Ⅱ）證明：∵Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

[1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n+3

-

1

4n+1

]=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

，
∴T_n＜

1

4

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列的證明，考查不等式的證明，解題時要注意裂項求和法的合理運用．