Question

定義域為D的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對?x∈D，均有f（x）＜f′（x），則稱函數(shù)f（x）為D上的夢想函數(shù)．
（1）已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，試判斷f（x）是否為其定義域上的夢想函數(shù)，并說明理由；
（2）若函數(shù)g（x）=ax+a-1（a∈R，x∈（0，π））為其定義域上的夢想函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）按照夢想函數(shù)的定義舉反例即可；
（Ⅱ）求出g′（x）=a，由g（x）為（0，π）上為夢想函數(shù)，得ax+a-1＜a在x∈（0，π）上恒成立，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決；

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinx+cosx不是其定義域上的夢想函數(shù)．
理由如下：f（x）=sinx+cosx定義域D=R，f'（x）=cosx-sinx，
存在x=

π

4

，使，f（

π

4

）＞
故函數(shù)h（x）=sinx+cosx不是其定義域D=R上的夢想函數(shù)．
（Ⅱ）g（x）=ax+a-1，g'（x）=a，
若函數(shù)g（x）=ax+a-1在x∈（0，π）上為夢想函數(shù)，
則ax+a-1＜a在x∈（0，π）上恒成立，即a＜

1

x

在x∈（0，π）上恒成立，
因為在y=

1

x

在x∈（0，π）內(nèi)的值域為（

1

π

，+∞）
所以a≤

1

π

．

點評：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等．