Question

在四棱錐P-ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求證：BC⊥平面PBD；
（2）設Q為側棱PC的中點，求三棱錐Q-PBD的體積；
（3）若N是棱BC的中點，則棱PC上是否存在點M，使MN平行于平面PDA？若存在，求PM的長；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取CD中點E，連結BE，則BE⊥CD，且BE=1，由勾股定理得BC⊥BD，由此能證明BC⊥面PBD．
（2）Q為側棱PC的中點，取BC中點N，連結QN，由已知條件得三棱錐Q-PBD的高BN=

1

2

BC=

2

2

，由此能求出三棱錐Q-PBD的體積．
（3）存在，M是PC的四等分點，靠近C點，理由如下：取PC的中點Q，由BQ平行MN，推導出MN平行與平面PDA．

解答： （本小題滿分12分）
（1）證明：∵面PCD⊥底面ABCD，
面PCD∩底面ABCD=CD，PD?面PCD，且PD⊥CD，
∴PD⊥面ABCD，又BC?面ABCD，∴BC⊥PD，①
取CD中點E，連結BE，則BE⊥CD，且BE=1，
在Rt△ABD中，BD=

2

，在Rt△BCE中，BC=

2

，
∵BD²+BC²=（

2

）²+（

2

）²=2²=CD²，∴BC⊥BD，②
∵PD∩BD=D
∴BC⊥面PBD．…（4分）
（2）解：∵Q為側棱PC的中點，取BC中點N，連結QN，
則QN∥PB，BC⊥面PBD，
∴三棱錐Q-PBD的高BN=

1

2

BC=

2

2

，
∵PD⊥CD，AB=AD=PD=1，CD=2，
∴S△PBD=

1

2

PD•BD=

1

2

×1×

1+1

=

2

2

，
∴三棱錐Q-PBD的體積V=

1

3

×BN×S△PBD=

1

3

×

2

2

×

2

2

=

1

6

．…（8分）
（3）解：存在，M是PC的四等分點，靠近C點，理由如下：
取PC的中點Q，由題意知BQ平行于平面PDA，
又BQ平行MN，所以MN平行與平面PDA．…（13分）

點評：本題直線與平面平行的證明，考查三棱錐體積的求法，考查直線與平面平行的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．