Question

如圖所示，Rt△BMC中，斜邊BM=5，它在平面ABC上的射影AB長(zhǎng)為4，∠MBC=60°，
求：（1）BC⊥平面MAC；
（2）MC與平面CAB所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得BC⊥MC，MA⊥平面ABC，從而BC⊥MA，由此能求出BC⊥平面MAC．
（2）由MA⊥平面ABC，知∠MCA是MC與平面CAB所成角，由此能求出MC與平面CAB所成角的正弦值．

解答： 解：（1）∵Rt△BMC中，斜邊BM=5，
∴BC⊥MC，
∵BM在平面ABC上的射影AB長(zhǎng)為4，
∴MA⊥平面ABC，又BC?平面ABC，
∴BC⊥MA，
又MA∩MC=M，
∴BC⊥平面MAC．
（2）∵M(jìn)A⊥平面ABC，∴∠MCA是MC與平面CAB所成角，
∵BM=5，AB=4，∠MBC=60°，
∴MA=3，BC=

5

2

，MC=

5

2

3

，
∴sin∠MCA=

MA

MC

=

3

5 2 3

=

2 3

5

．
∴MC與平面CAB所成角的正弦值為

2 3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．