Question

已知函數(shù)f（x）=（x³+ax²）e^x，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上為單增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)極小值點(diǎn)x₁，x₂（x₁，x₂≠0），且f（x₁）•f（x₂）＜

4

e2

，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）在[-1，1]上為單增函數(shù)，x[x²+（3+a）x+2a]≥0在[-1，1]上恒成立，分類討論，盡快求a的取值范圍；
（Ⅱ）先確定a＜0，再由韋達(dá)定理可得f（x₁）•f（x₂）=-4a³e^-（3+a）＜

4

e2

，設(shè)g（a））=-4a³e^-（3+a），則g（a）＜g（-1），利用g（a）在a＜0時(shí)單調(diào)遞減，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x³+ax²）e^x，
∴f′（x）=[x²+（3+a）x+2a]xe^x，
∵f（x）在[-1，1]上為單增函數(shù)，
∴x[x²+（3+a）x+2a]≥0在[-1，1]上恒成立．
令t=x+2，則
①x=0時(shí)，恒成立；
②x∈（0，1]時(shí)，t∈（2，3]，a≥

2

t

-t+1在（2，3]上恒成立，∴a≥0；
③x∈[-1，0）時(shí)，t∈[1，2），a≤

2

t

-t+1在（2，3]上恒成立，∴a≤0．
綜上a=0；
（Ⅱ）∵f（x）有兩個(gè)極小值點(diǎn)x₁，x₂（x₁，x₂≠0），
∴x²+（3+a）x+2a=0有一正一負(fù)兩根，
∴a＜0，
∴由韋達(dá)定理可得f（x₁）•f（x₂）=-4a³e^-（3+a）＜

4

e2

，
設(shè)g（a））=-4a³e^-（3+a），則g（a）＜g（-1），
∵g（a）在a＜0時(shí)單調(diào)遞減，
∴-1＜a＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．